அப்பரம்பலின் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதற்குப் பொருத்தமான ஒரு அளவீட்டை அல்லது ஒரு பெறுமானத்தைத் தெரிவுசெய்யும் போது மையநிலையின் அளவை பயன்படுத்த வேண்டியுள்ளது

மையநிலையின் அளவைகள்

1. ஆகாரம்

2. இடையம்

3. கூட்டலிடை

குறிப்பிட்ட ஒரு புள்ளித் தொகுதியின் பரம்பலில் ஆகக்கூடிய தடவை வரும் அல்லது அதிகூடிய மீடிறனை உடைய புள்ளியே ஆகாரம் எனப்படும். ஒரு திரள் மீடிறன் பரம்பலில் அதிகூடிய மீடிறனை உடைய வகுப்பாயிடையின் மையப்புள்ளியே ஆகாரமாகும்.

                         மேலும் வாசிக்க – கல்வி அளவீடும் மதிப்பீடும் 

இடையம்

ஏறுநிரையில் அல்லது இறங்குநிரையில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு புள்ளித் தொகுதியை இரு சம கூறுகளாகப் பிரிக்கும் எல்லையே இடையம் எனப்படும்.

கூட்டலிடை

அன்றாடம் நாம் பயன்படுத்தி வரும் சராசரியாகும். குறிப்பிட்ட ஒரு வகுப்பிலுள்ள மாணவர் குழுவொன்று ஒரு பாடத்தில் பெற்ற முழுப்புள்ளிகளினதும் சராசரியைக் காண்பதாகும். அதாவது அம்மாணவர் குழு அப்பாடத்தில் பெற்ற புள்ளிகளின் கூட்டலிடையைக் காண்பதாகும். புள்ளியியலில் பலவகையான சராசரிக் கணிப்புக்கள் இடம்பெறுவதால் அன்றாடம் வழக்கமாகப் பயன்படுத்தும் ‘சராசரி’ என்பது கூட்டலிடை என அழைக்கப்படுகின்றது.

மையநிலையின் அளவை வகைகளை அறிந்துகொண்ட நாம் தொடர்ந்து அளவைகள் ஒவ்வொன்றையும் கணிக்கும் விதத்தையும், அவ்வளவீகள் ஒவ்வொன்றினதும் இயல்புகளையும் அறிந்துகொள்வதற்கு முயற்சிப்போம். இலகுவான பரம்பல் தொடக்கம் புள்ளிகள் பலவற்றை உள்ளடக்கிய விசாலமான பரம்பல்வரை எத்தகைய ஒரு பரம்பலுக்கும் மேற்குறிப்பிட்ட அளவைகளைக் கணிக்க முடியும். புள்ளிகளின் பரம்பல் மிகவும் இலகுவாக இருக்கும்போது மேற்குறிப்பிட்ட கணிப்புகளை மிக இலகுவாக மேற்கொள்ள முடியும். புள்ளிகளின் பரம்பல் மிகவும் விசாலமானதாகவும், சிக்கலானதாகவும் அமையும்போது கணிப்பு மேற்கொள்வதும் ஓரளவு சிக்கலானதாக அமையும். ஒரு புள்ளித்தொகுதியின் மையநிலையின் அளவைகளை அறிந்துகொள்வதற்கு கீழே தரப்பட்டுள்ள புள்ளிகளின் பரம்பலைப் பயன்படுத்திக்கொள்வோம். அதில் 40 மாணவர்கள் ஒரு பாடத்தில் பெற்ற புள்ளித்தொகுதி இடம்பெற்றுள்ளது. அதாவது 40 மாணவர்கள் பெற்ற புள்ளிகள் திரள் மீடிறன் பரம்பலில் காட்டப்பட்டுள்ளது.

www.edutamil.com

ஆகாரத்தைக் கண்டறிதலும், ஆகாரத்தின் இயல்புகளும்

ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளித்தொகுதியின் பரம்பலில் ஆகக்கூடிய எண்ணிக்கையில் வரும் புள்ளிகள் அல்லது அதிகமான மாணவர்கள் பெற்ற புள்ளிகள் ஆகாரம் எனப்படும். புள்ளிகள் அல்லது அளவைகள் பல இருக்கும்போது அதற்காகத் தொகுக்கப்படாத புள்ளிகளின் மீடிறன் பரம்பலொன்றைத் தயாரிப்பதனூடாகவோ, அல்லது புள்ளிகளை நிரைப்படுத்துவதனூடாகவோ ஆகாரத்தை இலகுவாகக் கண்டறிய முடியும். புள்ளிகள் அல்லது அளவைகளின் எண்ணிக்கை அதிகமாக இருந்தால் ஆகாரத்தைக் கண்டறிவதற்குத் தொகுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் மீடிறன் பரம்பலொன்றைத் தயாரிக்க வேண்டும். அப்பரம்பலில் அதிக எண்ணிக்கையான மீடிறன் இடம்பெறும் வகுப்பாயிடையின் மையப்புள்ளி ஆகாரமாகும்.

மேற்குறிப்பிடப்பட்டுள்ள தொகுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் மீடிறன் பரம்பலை உபயோகித்து ஆகாரத்தைக் காண்போம். அப்பரம்பலில் அதிக மீடிறன்களால் பெற்றுள்ள புள்ளித்தொகுதி 21-25 ஆகும். அத்தொகுதியில் அல்லது அவ்வகுப்பாயிடையின் மீடிறன் 09 ஆகும். அந்த மீடிறன இடம்பெறும் வகுப்பாயிடையின் மையப்புள்ளி (21+ 25)/2 = 23 அப்பரம்பலின் ஆகாரமாகும்.

ஆகாரத்தை அறிந்துகொள்வதற்கு. நாம் பெரும்பாலும் அவதானிப்பு முறையையே மீடிறன் பரம்பலின் ஆகாரத்தைக் கணிக்க பின்பற்றுகிறோம். ஒரு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தொகுக்கப்பட்ட புள்ளிகளைக்கொண்ட அவதானிப்பதனூடாக ஆகாரத்தை அறிந்துகொள்ளல் போதுமானதாகும் எனக் கருதப்படுகின்றது.

ஆகாரம் தொடர்பாக மேலும் சில விடயங்கள் மீது உங்கள் அவதானத்தைச் செலுத்துதல் நன்று. தொகுக்கப்பட்ட புள்ளிகளுக்கான மீடிறன் பரம்பலொன்றில் ஆகாரம் அமைந்துள்ள புள்ளித் தொகுதி ஆகார வகுப்பு என அழைக்கப்படுகின்றது. வகுப்பாயிடையின் பருமன் வேறுபடும்போது சில சந்தர்ப்பங்களில் ஆகாரம் சிறிது மாற்றமடையக் கூடும். மேலும் சில புள்ளித்தொகுதியின் பரம்பல்களில் ஆகாரம் ஒன்றுக்குக் கூடவும் இருக்கக்கூடும். இரு ஆகாரம் இருக்கும்போது இருமை இயல்புடைய (Bimode) எனவும், இரண்டுக்குக் கூடிய ஆகாரங்கள் இருக்கும்போது பன்மை இயல்புடைய ஆகாரம் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றது.

ஆகாரம் என்பது அளவீட்டுத் தொகுதியில் அதிக எண்ணிக்கையில் உள்ள அளவுகள் என்பதையும் அது புள்ளிகளின் பரம்பலில் மையத்தைச் சார்ந்து காணப்படுகின்றது என்பதையும் நாம் இதுவரை கற்றவற்றிலிருந்து விளங்கிக்கொண்டோம். ஆகாரம் ஒரு பரம்பலில் மையத்தைச் சார்ந்து அமைந்துள்ளதால் அதனை ஒரு மையநிலை அளவையாகக் கருதமுடியும். பிரதானமாகப் பன்மை ஆகாரம் மையநிலை அளவையாக இனங்காணப்பட்டாலும் கல்வி உளவியல் அளவீடாகக் கருதப்படுவதில்லை.

இடையத்தைக் கணித்தலும் இடையத்தின் இயல்புகளும்

நிரைப்படுத்தப்பட்ட ஒரு புள்ளித்தொகுதியினைச் சமமான இரு கூறுகளாகப் பிரிக்கும் எல்லை இடையம் என அழைக்கப்படுகின்றது. சிறு தொகைப் புள்ளிகளின் இடையத்தை மிக இலகுவாகக் கணிக்கலாம். புள்ளித் தொகுதியை ஏறு நிரையில் அல்லது இறங்கு நிரையில் ஒழுங்குபடுத்தி அரைவாசி மேலும், அரைவாசி கீழும் இருக்கக்கூடியதாக இரண்டாகப் பிரித்துப் பெறும் மத்திய புள்ளி அப்புள்ளித் தொகுதியின் இடையம் ஆகும். புள்ளித்தொகுதியின் எண்ணிக்கை ஒற்றை எண்ணாக இருந்தால் இடையத்தைக் கணிப்பது மிகவும் இலகுவாகும். புள்ளித்தொகுதி இரட்டை எண்ணாக அமைந்திருந்தால் புள்ளித் தொகுதியை இரண்டாகப் பிரிக்கும் கோட்டுக்கு மேலே உள்ள புள்ளியையும், கீழாக இரண்டாகப் பிரித்து இடையத்தைக் கணிக்கவேண்டும். உள்ள புள்ளியையும் கூட்டி இரண்டாக பிரித்து இடயத்தை  கணிக்க வேண்டும்

புள்ளித்தொகுதி விசாலமானதாக இருந்தால் தொகுக்கப்பட்ட புள்ளிகளின் மீடிறன் தயாரித்து இடையத்தைக் கணிக்கவேண்டும். மேலே தரப்பட்டுள்ள மீடிறன் பரம்பலைப் பயன்படுத்திப் பெருந்தொகையான புள்ளிகளின் பரம்பனொன்றைத் தொகுக்கப்பட்ட இடையத்தைக் கணிக்கும் விதத்தைத் தெளிவுபடுத்திக் கொள்வோம். அவ்வட்டவணையின் திரள் மீடிறன் நிரலில் மாணவர்களின் புள்ளிகள் பரம்பியுள்ள விதம் காட்டப்பட்டுள்ளது. 5.5 க்குக் குறைந்த புள்ளியை ஒருவரே பெற்றுள்ளார். 10.5 க்குக் குறைவாக நான்குபேர் புள்ளிகள் பெற்றுள்ளனர். 15.5 க்குக் குறைவாகப் புள்ளிகள் பெற்றுள்ளவர்களின் முழுத்தொகை 8 ஆகும். 20.5 க்குக் குறைவாகப் புள்ளிகள் பெற்றவர்கள் இவ்வட்டவணையிலிருந்து 14 பேர் போன்ற விளக்கங்களை நாம் அறிந்துகொள்ளலாம். நாம் இப்புள்ளித் தொகுதிக்கான இடையத்தைக் கணிக்கவேண்டியுள்ளது. அதாவது ரேதனைக்குத் தோற்றிய மாணவர்களில் சரியாக அரைவாசிப்பேர் எந்தப் புள்ளியிலும் பார்க்கக் குறைந்த புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளனர் என்பதாகும். சோதனைக்கு 40 பேர் தோற்றியிருந்தனர். அதன் அரைவாசி 20 ஆகும். ஆதலால் நாம் 20 பேர் எந்தப் புள்ளியிலும் பார்க்கக் குறைந்த புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளனர் என்பதைக் கண்டறியவேண்டியுள்ளது. திரள் மீடிறன் அட்டவணையைப் பார்க்கும்போது 14 பேருக்கு மேல் 20.5 க்குக் குறைந்த புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளனர் என்பதும், 23 பேர் 25.5 க்குக் குறைந்த புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளனர் என்பதும் தெளிவாகின்றது. வேறுவிதமாகக் கூறினால் 14 பேர் 20.5 க்குக் குறைந்த புள்ளிகளையும், 23 பேர் 25.5 க்குக் குறைந்த புள்ளிகளையும் பெற்றுள்ளனர் எனக்கூறமுடியும். 14 பேர் 20.5 க்குக் குறைந்த புள்ளிகளைப் பெற்றுள்ளதால் மேலும் 6 பேரைச் சேர்ப்பதற்குப் புள்ளித் தொகையில் 20.5 இலிருந்து எவ்வளவு மேலே செல்லவேண்டும்; என்பதை நாம் கண்டறிய வேண்டும். 20.5 இலிருந்து 25.5 வரை மேலே சென்றால் 21-25 வகுப்பாயிடையில் இடம்பெற்றுள்ள 9 பேரும் இடம்பெறுவர். ஏனினும் 9 பேரைச் சேர்ப்பதற்கு (25.5-20.5) 5 புள்ளிகள் மேலே செல்லவேண்டியிருந்தால் 6 பேரைச் சேர்ப்பதற்கு எத்தனை புள்ளிகள் மேலே செல்லவேண்டும் என்பதைக் கண்டறிய வேண்டும். அதற்கு (6 X 5)/9 = 3.3 எனக் கணிக்கலாம். எனவே 20.5 புள்ளியிலிருந்து இன்னும் 3.3 புள்ளிகளை மேலே நகர்த்தினால் அது 20 ஆவது ஆள் பெற்ற புள்ளியாகும். அது 20.5 + 3.3 = 238 ஆகும். இது புள்ளிகளின் பரம்பலின் இடையம் ஆகும். 

விசாலமான ஒரு புள்ளித் தொகுதியை இரு பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டியேற்பட்டால், நாம் இடையத்தைக் கணித்தல் வேண்டும். இடையத்துக்கு மேலாக அரைவாசியும், கீழாக அரைவாசியும் அமைந்திருக்கும். ஒரு சோதனையில் திறமையான 50% த்தை அல்லது திறமை குறைந்த 50% த்தைக் கண்டறிய வேண்டிய தேவை ஏற்பட்டால் நாம் இடையத்தைக் கண்டறியவேண்டும். புள்ளிகளின் பரம்பலில் ஏனைய புள்ளிகள் மீது இடையம் தாக்கம் செலுத்துவதில்லை. இது இடையத்தின் குறைபாடாகும். உதாரணமாக, 12, 15, 16, 17, 20 என்ற புள்ளிகளின் இடையம் 16 ஆகும். மேற்குறிப்பிட்ட புள்ளிகளுக்குப் பதிலாக 2. 10. 16, 25, 30 என்ற புள்ளிகளை எடுத்தால் அதன் இடையமும் 16 ஆகும். இதன்படி புள்ளிகளின் ஒழுங்கு மாற்றமடையாது. அவற்றின் பருமன் எவ்வளவு வேறுபட்டாலும் இடையம் மாற்றமின்றிக் காணப்படும்.

கூட்டலிடையைக் கணித்தலும் கூட்டலிடையின் இயல்புகளும்

குறைந்த எண்ணிக்கையில் புள்ளிகள் உள்ள சந்தர்ப்பங்களில் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையை மாணவர்களின் மொத்த எண்ணிக்கையால் பிரித்துக் கூட்டலிடையைக் கணிக்கலாம். தொகுக்கப்படாத புள்ளிகளுக்கான மீடிறன் பரம்பலொன்றைத் தயாரித்தும் கூட்டலிடையைக் கணிக்கலாம்.

www.edutamil.com

அப்போது கூட்டுத்தொகை 8 x 5 = 40 ஆகும். இதனை £f அல்லது ஆல் வகுத்துப் பெறும் பெறுமானத்தை ஊக இடையுடன் சேர்த்து கூட்டலிடையைக் கணித்துக்கொள்ள முடியும். அதாவது 40ஃ40 க்கு விடையாக = 24 எனக் கணிக்க முடியும். வரும் 1 ஐ ஊக இடையுடன் சேர்த்து கூட்டலிடையை 23+1

இக்கணிப்பை ஒரு சூத்திரத்தினூடாகக் கூட்டலாம். அதாவது,

www.edutamil.com