www.edutamil.com

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையி

நிகழ்தகவு

வாழ்க்கையில் சில நிகழ்வுகள் நிச்சயம் நடைபெறும் என்பதை நாம் அறிவோம். உதாரணமாக, ஏதும் ஒரு பொருளை மேலே எறிந்தால் அது கீழே வந்து விழும். அதுபோல் வேறுசில நிச்சயம் நடைபெறாது என்பதும் நமக்குத் தெரியும். நதி ஒருபோதும் மேல் நோக்கி ஓடமாட்டாது. இது நிச்சயம் நடைபெறாத ஒரு நிகழ்வாகும். இன்னும் சில விடயங்கள் நிகழுமா அல்லது நிகழ மாட்டாதா என்பதை நமக்கு நிச்சயம் கூறமுடியாதிருக்கும். உதாரணமாக, ஒரு நாணயத்தை மேலே சுண்டிவிட்டால் அதன் பூவா தலையா விழும் என்பதை நிச்சயம் கூறமுடியாதிருக்கும். நாணயத்தைப் பலமுறை மேலே சுண்டிவிட்டால் சில சந்தர்ப்பங்களில் “பூ” பக்கமும், சில சந்தர்ப்பங்களில் தலைப் பக்கமும் விழலாம். அதேபோல், பல நாணயங்களை ஒன்றாக மேலே சுண்டிவிடும்போது எல்லா நாணயங்களதும் தலை அல்லது பூ பக்கம் ஒன்றாக விழும் என நிச்சயம் கூறமுடியாது. இது நாம் அனைவரும் அனுபவத்தின் மூலம் அறிந்த விடயமாகும்.

மேலும் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் 1, 2, 3. 4. 5. 6 என்றவாறு புள்ளியிடப்பட்ட தாயக்கட்டை ஒருமுறை எறியப்படுகையில் பெறப்படும் விளைவு யாது எனத் திருத்தமாகக் கூறமுடியாது இவ்வாறு நிச்சயமாகக் கூறமுடியாத நிகழ்வுகளை ஓரளவாவது முன்கூட்டியே குறிப்பிடுவதையே “நிகழ்தகவு” என்பர்.

 

                     மேலும் வாசிக்க – கல்வி அளவீடும் மதிப்பீடும் 

நிகழ்தகவை ஓர் கணித எண்ணக்கருவாகக் தொடர்புபடுத்த வேண்டியுள்ளது. நதி மேல்நோக்கி கருதுவதால் சில தரவுகளை அதனுடன் ஓடாது போன்ற நிச்சயம் நடைபெறாத நிகழ்வுகளுக்கு 0 உம், மேல்நோக்கிப் பாய்ந்தால் கீழே விழுவது போன்ற நிச்சயம் நடைபெறும் நிகழ்வுகளுக்கு 1 உம் பயன்படுத்தப்படுகின்றது. நிச்சயம் நடைபெறும் அல்லது நடைபெறாதது என்பதைக் குறிக்கும் . ஒரு நிகழ்வுக்கும். ‘ 0 ‘ க்கும் ‘ 1 ‘ க்கும் இடையிலான புள்ளி பயன்படுத்தப்படுகின்றது.

மேற்கூறியவாறு நாணயம் ஒன்றை மேலே சுண்டிவிட்டால் நாம் எதிர்பார்க்கக்கூடிய விளைவுகள் இரண்டாகும். ஒன்றில் தலை விழும் அல்லது பூ விழும் என்பதாகும். இதன்படி ஒரு நிகழ்வு நடைபெறுவதன் நிகழ்தகவு அவ்விளைவிற்கும் கிடைக்கக்கூடிய எல்லா விளைவுகளுக்கும் இடையிலான விகிதமாகக் காட்டலாம். இவ்வாறு நாம் எதிர்பார்க்கும் விளைவுகளை விகித முறையில் குறிப்பிட முடியும். அதாவது, ஒரு நாணயத்தை மேலே சுண்டிவிட்டால் தலைப்பக்கம் விழுவதற்கான சந்தர்ப்பம் 12 என்பதாகும். இதன் பொருள் இருமுறை சுண்டினால் ஒரு முறை தலைப்பக்கம் விழும் என்பதாகும். இதனை வேறு முறைகளிலும் குறிப்பிடலாம்.1:2 அதாவது 1/2 அல்லது 0.5 அல்லது 50% எனப்பல முறைகளில் குறிப்பிடலாம்.

தாயக்கட்டை ஒன்றை அவதானிப்போம். தாயக்கட்டை ஒன்றை ஒருமுறை எறிகையில் கிடைக்கக்கூடிய எண்ணிக்கை 6 ஆகும். 1, 2, 3, 4, 5, 6 என்ற எண்ணிடப்பட்ட எந்தப்பக்கமும் மேலே இருக்கமுடியும் என்பதாகும். 1 என்ற பெறுமானம் பெறப்படுவது ஒருமுறையாகும். ஏன் ஒன்று என்ற எண் ஆறு பக்கங்களில் ஒரு பக்கம் ஆகும். எனவே, ஒன்று என்ற பெறுமான!! கிடைக்க நிகழ்தகவு 1:6 ஆகும். அதாவது 1/6 அல்லது 0.167 ஆகும்.

உமது பாடசாலையில் ஒரு சீட்டிழுப்புக்கு 1000 டிக்கட்டுக்கள் அச்சுச் செய்யப்படுவதாக வைத்துக்கொள்வோம். அதில் நீர் பரிசு பெறுவதற்குரிய நிகழ்தகவு 1:1000 என்பதாகும். நீர் இரு சீட்டுக்களை வாங்கியிருப்பின் வெற்றிபெறும் நிழ்தகவு 2:1000. அதேபோல் 100 சீட்டுக்களையும் வாங்கியிருப்பின் 100 1000 என்ற விகிதத்தில் உமக்குப் பரிசு கிடைக்கக்கூடிய வாய்ப்புண்டு நீர் 1000 சீட்டுக்களையும் வாங்கியிருப்பின் முதலாவது பரிசு கிடைப்பதற்குரிய வாய்ப்பு 1000 1000. இதன்பொருள் 1, அதாவது நிச்சயம் நீர் பரிசு பெறுவீர் என்பதாகும்.

உதாரணங்களின் அடிப்படையில் ஒரு எதிர்பார்த்த விளைவு கிடைக்கும் நிகழ்தகவு, அவ்வெதிர்பார்க்கும் விளைவுகளின் கிடைக்கக்கூடிய எல்லா விளைவுகளுக்குமிடையிலான விகிதமாகும்.

அதாவது நிகழ்தகவு ஒருதரத்தில் கிடைக்கக்கூடிய இயலுமான நிகழ்ச்சியின் எண்ணிக்கை

நிகழக்கூடிய எல்லா நிகழ்ச்சியினதும் எண்ணிக்கை

நாணயமொன்றை மேலே எறியும் நிகழ்ச்சியின் விளைவுகளை வரைபடத்தில் வகைகுறிக்கும் முறையினை அவதானிப்போம்.

நாணயத்தை 10 தடவைகள் மேலே சுண்டிவிட்டால் 0, 1, 2, 3, 4, 10 முறைகள் சம்பவங்களை கீழுள்ள நிரல் வரைபின்மூலம் முன்வைக்கப்பட்டுள்ளது. தலை கிடைக்கக்கூடிய நிகழ்தகவைப் பின்வரும் நிரல் வரைபின் செவ்வகத்தின் பரம்பலினால் வகைகுறிக்கின்றது.

www.edutamil.com

உரு: 5.1 நாணயம் 10 தடவைகள் எறியப்படுகையில் தலை கிடைக்கக்கூடிய சந்தர்ப்பங்கள்

உரு: 5.1 வரிப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு செவ்வகத்தின் மேற்கோட்டின் நடுப்புள்ள அழுத்தமான வளையியினால் இணைக்கையில் அவ்வளையியினாலும் கிடை அச்சி அடைக்கப்பட்ட பகுதியின் பரப்பு எல்லாச் செவ்வகங்களின் பரப்பின் கூட்டுத்தெ அண்ணளவாகச் சமமாகும். மேலும் இவ்வளையி நிகழ்தகவு வளையியை ஒத்ததாகும். வரிப்படத்தில் A வரைபினைப் பார்க்க)

வளையியை அல்லது

இவ்வாறு பல்வேறு அளவுகளைப்பயன்படுத்தி மீடிறன் வளையியை வரையலாம்.

உதாரணம்:

பின்வரும் உதாரணத்தைக் கவனிக்க. க. பொ. த. (சா. த) கணித வினாத்தாள் எழுமாற்றாக தொரிவுசெய்யப்பட்ட 9 ஆந்தர மாணவர்கள் 200 பேருக்கும். 11 ஆந்தர மாணவர்கள் பேருக்கும், 13 ஆந்தர மாணவர்களும் கொடுக்கப்பட்டதென எடுத்துக்கொள்வோம். 9 ஆந்தர மாணவர்களுக்குக் கடினமானதாகவும் குறைந்த புள்ளிகளும் கிடைக்கும். 13 ஆந்தர மாணவர்கள் கூடிய புள்ளிகளைப் பெறுவர். இவ்வினாத்தாளில் 11 ஆந்தர மாணவர்கள் மத்தியதரடு மூலம் புள்ளிகளைப் பெறுவர். இவ்விளைவுகள் மூன்றையும் தனி வரைபடத்தில் 3 வளையி இவ்வாறு காட்டலாம். (உரு 5.2 வரிப்படத்தினைப் பார்க்க)

www.edutamil.com

A    :        9 ஆம் தர மாணவர்களின் விளைவு

B    :          11 ஆம் தர மாணவர்களின் விளைவு

C    :    13 ஆம் தர மாணவர்களின் விளைவு மேலுள்ள மாணவர் எண்ணிக்கை 500 அல்லது 1000க்கு அதிகமாயின் இன்னும் ஒப்பமான வளையி கிடைக்கும். இங்கு (B) இல் மட்டும் கூடியளவு சமச்சீர் வளையி உள்ளது. வளையிகள் (A), (C) என்பன சமச்சீரற்றதவையாகக் காணப்படுகின்றன.

சரிவு

அளவீட்டுப் பரம்பலுக்காக வரையப்பட்ட மீடிறன் வளையி அல்லது நிகழ்தகவு வளையீ சமச்சீரற்றதாக இருப்பின் (உருவரிப்படம் 5.2 A யும் C யும்) அவ்வியல்பு சரிவு என அழைக்கப்படும். இவ்வாறு வளையி சமச்சீரற்றதாவதற்குக் காரணம் புள்ளித்தொகுதியில் கூடுதலான எண்ணிக்கை ஒரு பக்கத்திற்குச் செல்வதனாலாகும்.

நேர் சரிவு

புள்ளிப்பரம்பலின் புள்ளிகள் பெரும்பாலான எண்ணிக்கை இடது பக்கமாக அமைந்திருப்பதை அல்லது புள்ளிகளின் தொகுதியின் கீழ் மட்டத்தில் அதிகமானோர் இருப்பதுடன் மேல்மட்டத்தை நோக்கி மீடிறன் மிகவும் குறைவடைந்து செல்லுமாயின் அதனை நேர் சரிவுடைய வளையி மிகவும் பரீட்சைகளில் அதிகமான மாணவர் குறைந்த பெறும்போதே மீடிறன் வளையி இவ்வாறாக அமைகிறது. மேலெல்லையில் புள்ளிகள் பெறுவோர் மிகக் குறைவாக இருப்பர். மேலுள்ள உரு: 5.2 இல் (A) வளையியைப் பார்க்க- என்பர். கடினமான புள்ளிகளைப்

பின்வரும் புள்ளிகளின் பரம்பலை அவதானிக்கவும

www.edutamil.com

எதிர்ச்சரிவு

எதிர்ச்சரிவு என்பது நேர்ச்சரிவின் எதிரானதாகும். புள்ளிப்பரம்பலின் புள்ளி எண்ணிக்கைகள் மீடிறன் வளையியாக புள்ளித்தொகுதியின் மேல் எல்லையில் அதிகமானோர் குவிந்திருப்பதுடன் கீழ் எல்லையை நோக்கி மீடிறன் படிப்படியாகக் குறைவடைந்து செல்லுமாயின் எதிர்ச்சரிவுடைய வளையி

அமையும். பரீட்சை மிகவும் இலகுவாக இருப்பின் அதிகமான மாணவர் புள்ளிகளைப் பெறுவர். அப்போது மீடிறன் பல்கோணி எதிர்ச்சரிவுடையதாக அமையும். கூடிய 

www.edutamil.com

மேலுள்ள உரு: 5.4 இல் காட்டப்பட்டுள்ள வளையி சமச்சீராக அமைகையில் அது செவ்வன் வளையி (Normal curve) என அழைக்கப்படும். இங்கு இடையிலிருந்து இருபக்கமும் மீடிறன் படிப்படியாகக் குறைந்து செல்கின்றது.

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையி (Normal Probability Curve)

 

கூடுதலான- அளவீட்டு எண்ணிக்கைகளுக்கான மீடிறன் பரம்பலைத் தயாரித்து ஆளகூற்றுத் தளத்தில் மீடிறன் வளையியில் குறிப்பிடுகையில் எமக்குக் கிடைக்கும் வரைபு அதை கூடியளவு சமச்சீரான வடிவமாகும். இவ்வாறான சமச்சீரான வளையி புள்ளிவிபரவியலில் செல்லன் நிகழ்தகவு வளையி எண்ணக்கருவாகும். என அழைக்கப்படும். செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையி கணித ரீதியான இவ்வளையி பெரும்பாலும்   உண்மையான நிலைமைகளை எடுத்துக்காட்டுவதற்குப் பொருத்தமானதாக இருக்கும். 

www.edutamil.com

ஆகாரம், கூட்டலிடை, இடையம் என்பன ஒன்றாக இருப்பதற்கு இப்புள்ளிகளின் பரம்பலில் காணப்படும் விசேட இயல்புகளே காரணமாகும். (உரு 5.5 பார்க்க)

வளையியின் விசேட இயல்புகள்

 

செவ்வன் பரம்பலில் அமைந்துள்ள புள்ளிகளின் ஆகாரம், கூட்டலிடை, இடையம் என்பன ஒரே பெறுமதி உடையனவாக இருக்கும். செவ்வன் வளையி ஓர் ஆலய மணியின் வடிவில் இருக்கும். ஆகாரம். கூட்டலிடை. இடையம் என்பன ஒன்றாக இருப்பதற்கு இப்புள்ளிகளின் பரம்பலில் காணப்படும் விசேட இயல்புகளே காரணமாகும். செவ்வன் வளையியை அமைக்கும் சூத்திரத்தை அறிந்து கொள்வதும், அதற்கேற்ப ஒரு செவ்வன் வளையியை அமைப்பதும் இங்கு நோக்கமல்ல. செவ்வன் வளையியின் பிரதான இயல்புகளைக் கொண்டு அதனை அடையாளம் காண்பதும் அதன் இயல்புகளைக்கொண்டு சில புள்ளிவிபரவியல் பிரச்சினைகளைத் தீர்த்துக்கொள்வதற்குரிய திறமையைப் பெறுவதுமே இப்பாடத்தில் முக்கியமாக எதிர்பார்க்கப்படுகின்றது.

 

செவ்வன் வளையியின் பின்வரும் இயல்புகளை நீங்கள் அறிந்து வைத்திருத்தல் பயனுடையதாகும்.

செவ்வன்

I.ஒத்த இயல்புகளைக் (ஒரே இனம், ஒரே வயது, ஒரே பால் முதலியன) கொண்ட பெருந்தொகையானோரின் உயரம், நிறை. நுண்மதி போன்ற ஏதேனும் ஒரு பண்புக்கூறை நாம் அளவிட்டுப் பெறும் புள்ளிகளை மீடிறன் பல்கோணியாக வரைந்தால் சிறப்பான இயல்புகளைக் கொண்ட ஒரு செவ்வன் வளையியைப் பெறுவோம்.

 

இது ஒரு கோயில் மணியின் வடிவமுடையது. இதற்குரிய காரணம் புள்ளிகளின் இ அந்தங்களும் குறைந்த பெறுமானம் உடையனவாகவும் மத்திய செல்லச்செல்லப் புள்ளிகளின் தொகை அதிகரித்துச் செல்வதுமாகும்.

 

செவ்வன் வளையியின் ஆகாரம், கூட்டலிடை, இடையம் என்பன ஒரே பெறுமானம் உடையனவாக இருக்கும். (சமச்சீரானது)

 

செவ்வன் வளையியின் ஆகாரம், கூட்டலிடை, இடையம் என்பவற்றின் இருபக்கமும் சமனான பகுதிகளைக் (பரப்பைக்) கொண்டதாக இருக்கும்.

 

செவ்வன் வளையியை வரையும்போது அதன் கிடையச்சு வளையியைக் குறுக்க வெட்டிச்செல்லமாட்டாது. ஆனால் கொள்கை ரீதியாக அது வளையியின் இரு கடைசி எல்லைகளையும் தொடுக்கின்றது எனக் கருதப்படுகின்றது.

 

செவ்வன் வளையி, கூட்டலிடையின் இரு பக்கமும் சமமான அளவுடையதாக இருக்கும் மொத்த எண்ணிக்கையில் 50% கூட்டல் இடைக்குக் கீழும் 50% கூட்டலிடைக்கு மேலும் இருப்பது இதற்குரிய காரணமாகும்.

 

கூட்டலிடைக்கும், புள்ளிகளின் விலகலுக்கும் மிக நெருங்கிய தொடர்பு காணப்படுகின்றது. கூட்டலிடைக்கு இடப்புறத்து 3 நியம விலகல் தூரத்திலும் வலது புறத்து 3 நியம விலகல் தூரத்திலும் புள்ளிகள் பரவி இருக்கும்.

 

வளையியின் கீழுள்ள பரப்பு ஆட்களின் எண்ணிக்கைக்கு விகிதசமனானதாகும். அது

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையியின் விசேட குணவியல்புகள்

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையியின் நியமப்புள்ளி (Z புள்ளி)

யாதாயினும் மூலப்புள்ளி செவ்வன் புள்ளிக்கு மாற்றப்படும்போது புள்ளி விபர து Z. புள்ளி (Z- Score) அழைக்கப்படும். இது கணிக்கப்படுவதற்குப் பின்வரும் சூத்திரம் என பயன்படுத்தப்படும்.

X என்னும் மூலப்புள்ளிக்குரிய Z புள்ளி =

www.edutamil.com

கூட்டலிடைக்கு வலப்பக்கத்திலுள்ள பெறுமானங்களின் Z – புள்ளிகள் நேர் பெறுமானத்தையும் கூட்டலிடையிலிருந்து இடப்பக்கத்திலுள்ள Z – புள்ளிகள் மறைப் பெறுமானங்களையும் பெரு என்பதைக் கவனிக்க. நேர் Z – புள்ளிகள் இடப்படல் இடைக்கு மேல் அப்பெறுமானம் அமையு எனவும் மறை Z – புள்ளிகள் கூட்டலிடைக்குக் கீழ் அப்பெறுமானம் அமைந்திருக்கும் என்பதைம் காட்டும். (உரு. வரிப்படம் 5.5)

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையியின் பரப்பு

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையி கணித ரீதியான சமன்பாட்டில் வகைகுறிக்கப்படும் வரைபாகும். பிரயோக கணிதத்தின் அடிப்படையில் வளையி அடிக்கோடு ( Base line) வரை நியம விலகல் அல்லது சிக்மா தூரம் ஆறாகப் பிரிக்கப்படும். செவ்வன் நிகழ்தகவு -3σ தொடக்கம் +3σ வளையியின் அடிப்படையில் அளவீட்டுத் தொகுதியின் 99.74% கூட்டலிடைகளிலிருந்து சிக்மா தூரம் ± 3 வரை அமைந்திருக்கும். இது வளையியின் பரப்பளவு தொடர்பாக இயல்பினால் கிடைக்கும் விளைவாகும். கூட்டலிடையிலிருந்து மேலோ அல்லது கீழோ 3σ தூரத்திற்குக் கூடுதலான விலகள் கொண்ட முழுப்புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையில் மிகவும் குறைந்த பெறுமானமாகும்

www.edutamil.com

இடை, இடையம், ஆகாரம் உரு 5.6 செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையியின் பல்வேறு சிக்மா தூரத்தின்படி பரப்பளவு வேறுபடும் முறை.

செவ்வன் நிகழ்தகவு வளையியின் கூட்டலிடையிலிருந்து நியம விலகல் தூரம் அல்லது சிக்மா தூரம் பெறுமான அடிப்படையில் உரிய பரப்பளவு மாறுபடும் முறை உரு 5.6 இன்மூலம் விளக்கப்படுகின்றது.

நிகழ்தகவு வளையியின் கூட்டலிடையிலிருந்து Z=0 இற்கு Z=+1 1 சிக்மா தூரத்தில் (நியம விலகல் தூரத்தில்) குறிக்கப்பட்டுள்ள பரப்பு மொத்தப்பரப்பின் 34.13% (0.3413) ஆகும். இப்பரப்பு மொத்த மாணவரில் 34.13 வீதத்தினரைக் குறிக்கும். ஆகவே – 1σ, + 1σ ~ என்ற இரு சிக்மா தூரங்களுக்கிடையேயும் 68% (0.6826) மாணவர் அடங்குவர். கூட்டலிடையிலிருந்து இரு சிக்மா (Z= +2) தூரத்தில் அதேபோல் வளையியில் குறிக்கப்பட்டுள்ள பகுதியின் ஆகவே மொத்தப்பரப்பின் 47.72% (0.4772) Z=+2 வகுப்பின் 0.9544 அல்லது 95% அடங்கும். 3 சிக்மா தூரத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ள பகுதியின் பரப்பளவு மொத்தப் பரப்பின் 49.87% ஆகும். +3, -3 தூரத்தில் மொத்தப்பரப்பில் 99.74% அடங்குகின்றது. இதனைக் கிட்டத்தட்ட 100% ஆகக் கொள்ள முடியும்.

இவ்வமர்வின் இறுதியில் தரப்பட்டுள்ள அட்டவணையைப் பார்க்க. அதில் நியம வளையியின் பரப்பளவுகள் 0 முதல் Z வரை உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது. (Areas under the standard normal curve from 0 to Z) அதைப்பயன்படுத்தி முழு வளையியின் பரப்பளவை பரப்பு அலகு ஒன்றாக எடுத்து ஒவ்வொரு சிக்மா தூர அளவு பெற்றுக்கொள்ளலாம். அதேவேளை பரப்பளவு பெற்றுக்கொள்ளலாம். தூரத்தில் உரிய பகுதிகளில் தெரிகையில் உரிய பரப்பினைப் பெறுமானத்தைப்